Introduction à la notion de forme | R. Le Ricolais

Introduction à tu notion de forme

It. Le Iticolais

Le propos de cette étude est une tentative d’éclaircissement de la difficile notion de forme, basée sur certains points référentiels déterminés. Comme nous le savons, Platon fut parmi les premiers à donner au problème de la forme l’importance qu’il a aujourd’hui, mais Platon, de même que tous les géomètres de son époque, avait dans l’esprit une structure plutôt statique de la forme par rapport à la signification actuelle plus abstraite et généralisée qu’il convient de lui donner aujourd’hui.

Une partie de notre exposé concernera une idée générale plus fluide de la forme, souvent rattachée au paramètre temps impliquant aussi le mouvement — introducteur de la forme, ainsi que nous le voyons pour les organismes vivants —; la relation entre la statique et la dynamique peut être rendue plus intelligible par l’introduction relativement récente de la mécanique ondulatoire et la compréhension du mouvement vibratoire.

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Au début du siècle passé, Monge (17461818), fondateur de l’Ecole polytechnique et créateur de la loi de la projection orthographique (géométrie descriptive) avait l’idée de « formes limites » pour des corps à trois dimensions. Il bornait ainsi son attention à une perception extérieure de la forme.

Au contraire, à la même époque environ, Cari Friedrich Gauss, le géant des mathématiques, avait une idée beaucoup plus profonde. Il considérait la forme comme une entité mathématique pure, jouissant de ce qu’il appelait des propriétés intrinsèques. Ce concept est valable aujourd’hui comme il le sera toujours, et il est maintenant admis que tôt ou tard la réalité se façonne sur de pures abstractions mathématiques.

Il est communément admis que dans le double champ de la physique théorique et appliquée, les mathématiques ont mis en évidence un fantastique répertoire de formes. Il est même inquiétant et fascinant à la fois de constater que les savants font totalement abstraction de la nature réelle des choses, réduisant leur rôle à une spécification et à une comparaison de certaines parentés.

Gauss a été le grand architecte des mathématiques. Il a introduit l’art de la composition entre les symboles mathématiques.

Au lieu de se cantonner dans la notion de nombre, comme on l’avait fait auparavant, il introduisit la notion de groupe et de classe, consécutive aux résultats de ces compositions.

Malgré leur habileté à traiter les problèmes géométriques, les Grecs n'atteignirent jamais cette vision, paralysés qu’ils étaient par le formalisme de la règle et du compas.

Peut-être est-ce la raison pour laquelle tout le fanatisme artistique entourant ce que l’on appelle la Divine Proportion n’est rien d’autre que pièces de musée et collections d’ossements.

Avant de parler forme, il est utile de se familiariser avec l’idée que Gauss avait de l’espace. Déjà en 1816 Gauss était arrivé à la conclusion que le fameux postulat d’Euclide des deux lignes parallèles se rencontrant à l’infini était impossible à démontrer et que l'heure avait sonné d’une nouvelle géométrie où il pourrait exister plus d'une parallèle à une ligne droite passant par un point. Admirons ici la complète destruction du principe kantien de l’intuition. L’histoire mathématique arrivait ainsi à un tournant d’où l’on voyait que la réalité et les mathématiques n’ont aucun point commun, confirmant le mot de Renan: «Tout est fécond sauf le bon sens. » L’extension des principes de Gauss, connus sous le nom de Géométrie Intrinsèque, a servi à Riemann de point de départ pour sa théorie de la Topologie des Surfaces.

Quelle conclusion en tirerons-nous? A tout le moins qu’il convient de considérer nos sens avec une certaine méfiance, la vérité n’étant pas toujours dans les images perçues.

Pouvons-nous admettre qu’en dehors des mathématiques il n’est pas de salut pour l’art de l’Architecture? Certes je ne le crois pas mais il semblerait probable que l’Architecture, comme les mathématiques, suive une ligne tant soit peu semblable et puisse avec intérêt soulever quelques questions sur la validité de ses principes et de ses méthodes.

On dit communément que la Science est un langage bien fait. Pour se persuader du contraire, il suffit d’être confronté avec les rapports scientifiques édités aujourd’hui, exsudant un jargon où l’inintelligibilité est synonyme de compétence.

Notre civilisation dite de spécialistes est appelée à sombrer dans une cacophonie assourdissante et vaine si nous ne remédions pas à la situation. Je me demande toujours pourquoi, en cet âge de verbiage insipide, nous ne devrions pas retourner à l’étude de la rhétorique si en faveur jadis. Ce ne sont pas les mots mais « l’assemblage » des mots qui importe pour la transmission d’un message. Comme il arrive souvent au cours d’une conversation téléphonique, il faut deviner 50% des mots que nous entendons— à cause des déformations sonores et des bruits introduits avec chaque mot. Si nous examinons l’étymologie de chaque vocable, nous perdons le fil, exactement comme quelqu’un qui n’a pas utilisé un code et pour qui il reste à découvrir le sens des abréviations. Ceci confirme l’attitude de base de l’homme moderne incapable de se permettre le temps de penser. Les universités ne sont pas à l’abri de ce genre de bêtise, par exemple le mot « environnement » si souvent employé par sa généralité ne possède plus aucun sens précis et ne dit rien en voulant tout dire.

En jargon technique nous entendons des choses bien étranges. Je désirerais tellement savoir ce qu’est par exemple la « compression discontinue », ou ce que l’on veut dire par « tensegrité » et « synergétique ».

C’est une chance que Molière ne soit pas vivant mais nous pouvons cependant croire Boileau quand il affirme que ce qui se conçoit bien s'énonce clairement...

Dans le domaine de la forme les connaissances marginales sont dangereuses parce que nous ne sommes plus dans le champ de la culture littéraire où le succès vient par la séduction et le charme (« Le secret est d’abord de plaire et de charmer »).

Déduction et constatations doivent reposer sur des faits et non sur des intentions. C’est peut-être pourquoi une certaine sorte d’ascèse devrait être essayée par l’étudiant suivant la sage devise de Socrate: « Connais-toi toi-même » (Gnôthi seauton). Nous avons réuni quelques archétypes de perversion, concernant l’étudiant en formes structurales.

Le géomètre qui pense en termes de configurations rigides agissant plus ou moins comme le lit de Procuste, généralement aussi inefficace que le système de rues perpendiculaires de San Francisco.

Le créateur de modèles, amateur de géométrie esthétique basée sur la répétition (style tam-tam). Ce genre de faiblesse est fréquent chez les créateurs de structures spatiales qui prétendent que les forces suivront les contorsions de leur esprit.

L'amoureux de la forme incurvée à la manière de Corbu... Ce genre de faiblesse qui introduit l’aérodynamisme dans les voitures d’enfants.

L'amateur de sensationnel, qui recherche les formes dites excitantes. Exemple: une pyramide sur son sommet. La foire de New-York a étalé une agressive prolifération de ces éphémères stupidités.

L'observateur du monde organique aux objectifs tels que la conversion des chenilles en monorails ou des rayons de miel en cités.

Les structures sont aujourd’hui envahies par la notion de « Coques » ou de coquilles et la référence aux observations biologiques nous permet d’entendre de curieuses réflexions sur « l’action protectrice des coquilles ». — Cette rigidité trouvée dans la nature est-elle bonne ou mauvaise ? — Les deux ensemble. — La nature agit-elle comme un bureau de bienfaisance? — Certainement pas. Et ceci tourne à la bouffonnerie dès l’entrée en scène de l’Esthétisme.

— La coquille d’un animal n’est rien d’autre qu’un excreta opposé au mouvement trouvé en opposition aux organismes plus perfectionnés appelés: vertébrés.

« Dans un monde dépourvu de finalité », a écrit Nietzche, « il n’existe rien qui puisse s’appeler hasard. » Cette nécessité d’auto-analyse est, à mon avis, importante pour déterminer quel est notre coefficient d’erreur — par exemple, pour des oreilles exercées, point n’est besoin de calculs pour déterminer la fréquence d’une corde en vibration. Je connais un graveur capable d’inciser une plaque d'acier avec une précision contrôlée du centième de millimètre. Cette discipline concentre une vertu purificatrice, en nous aidant à compter le désaccord entre ce que nous sommes et ce que nous croyons ou voudrions être.

Un test des plus simples contribue à déceler ce que j’appelle le coefficient anthropomorphique d’un étudiant: je lui demande de dessiner un cercle, presque toujours, il met le centre en évidence, ce qui peut être un système de construction mais qui n’illustre qu’une seule des nombreuses propriétés de cette figure. Inconsciemment l’étudiant s’introduit au centre de la figure.

La finalisme, qui implique un but final pour un phénomène observé, a entravé pendant des siècles nos systèmes et nos théories scientifiques. Cette attitude naïvement anthropocentrique fut à la racine de ce que l’on appelle le mouvement humaniste de l’architecture. Un tel respect de l’individu a certainement une grande valeur morale mais la majorité de nos problèmes actuels concernent des groupes, un piéton possède une certaine échelle, mais une automobile en a une autre. Ils constituent deux entités différentes. Est-ce l’individu ou le participant à ce groupe qui doit faire l’objet de notre attention?

Formes et structures sont les conséquences mais non l’origine de la vie

Elles sont les conséquences d’un travail éternel de l’évolution agissant selon une chaîne d’actions secondaires. Le zoologiste français Frédéric Eloussaye, de l’école cinétique, a donné le diagramme: Force

Mouvement

Formes

Cet énoncé simplifié est déjà formidablement complexe, le facteur temps n’est pas pris en considération et cependant le temps est un facteur essentiel dans l’origine des espèces.

Faisons ici une remarque importante sur la valeur différente du temps absolu et relatif. L’appréciation du temps introduit une erreur anthropomorphique qui résulte de la comparaison du temps, soit des distances, soit entre les événements. Ceci est pure conjecture. Le temps n’a en fait pas d’autre réalité que celle de l’instant, — instant suspendu entre deux néants: le passé et le futur. Cette notion entraînant le concept de discontinuité, qui envahi nos conceptions telles que la physique des quanta, nous serons à peine surpris d’entendre des philosophes comme G. Bachelard parler de la « nature granulaire du temps ».

A certains égards ce concept nous aide à comprendre que les accidents sont à la base de toute évolution. Nous pouvons alors réfuter l’idée puérile du progrès associé à la répétition.

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Une simple définition des propriétés de la forme consiste en l'étude de l’influence des forces sur des solides différents. Cette étude couvre le champ de la statique qui est déjà une entreprise assez formidable, unie à la résistance des matérieux. La notion paradoxale de matière requiert un pouvoir d’abstraction aussi subtil que les mystères de la création spiritualiste. Sous la pression de problèmes technologiques, de grands pas ont été faits mais il en reste à faire spécialement dans l’étude du phénomène de rupture. Mais cet aspect de la forme est trop spécialisé pour être discuté dans cet article.

Au cours du siècle passé la notion des cristaux exposée par Bravais a suscité une discipline nouvelle connue sous le nom de cristallographie, illustrée par la géométrie des réseaux cristallins et donnant quelques indications sur l’architecture de la matière et ses propriétés dites « automorphiques », l’automorphisme étant la stricte condition d’une répétition géométrique. Nous avons essayé de montrer que certaines transformations topologiques relativement aisées conduisent à un diagramme des forces qui possède lui aussi un automorphisme sous certaines conditions de contraintes extérieures, ceci étant, bien entendu, l’extension de la statique graphique à l’étude des réseaux. La cristallographie a forgé un nouveau concept d’ordre et suscité de fructueuses questions sur la géométrie conduisant à ce que l’on appelle les « conditions d’équipartition de l’espace». Une telle connaissance est importante comme application dans l’industrie métallurgique, l’histoire nous l’enseigne, la puissance militaire est donnée aux meilleures armes, ou si l’on préfère aux nations qui connaissent le secret de la fabrication du meilleur acier.

Les conditions mathématiques de l’équipartition de l’espace ont été résumées à la fin du siècle passé par lord Kelvin dans son fameux rapport à l’Académie Royale intitulé Répartition Homogène de l'Espace, celui-ci conduisant à définir un polyèdre semi-régulier à 14 faces, 8 hexagonales, 6 carrées, 24 sommets et 36 arêtes connu sous le nom de tétrakaidécaèdre. Cette contribution est à mon avis le plus grand apport à la géométrie, depuis la découverte par Platon des cinq solides platoniciens, le tétraèdre, l’octaèdre, le cube, l’icosaèdre et le dodécaèdre. De plus, elle entraîne la

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notion des fonctions pulsatrices, qui sont à la base de l’étude des vibrations.

Au XVIIe siècle, grâce au concours de la géométrie analytique et différentielle le mathématicien Lagrange a spéculé sur l’existence des « surfaces minimales », c’est-à-dire les surfaces pour lesquelles la somme algébrique de deux courbures est égale à 0 (si nous définissons la courbure comme la réciproque des rayons de courbure), ces surfaces à minima conduisent à un minimum de matière pour une surface donnée. De telles surfaces sont rendues visibles par l’action d’une pellicule de savon, comme l’ont montré les expériences de Plateau étudiant la capillarité.

Ceci illustre, parmi bien d’autres preuves, la puissance prophétique des mathématiques, comme précédemment suggéré.

Et comme l’a dit Poincaré: « Il y a plus d’intelligence dans le comportement d’une pellicule de savon que dans l’imagination de l’homme. » Dans la quête des découvertes scientifiques l’observation doit être la compagne de l’intuition.

L’introduction du paramètre temps dans la mécanique, née de la découverte par Galilée des lois pendulaires, a ouvert une voie triomphale à l’un des plus grands concepts de notre civilisation: la mécanique du mouvement ondulatoire, pressentie par des esprits réceptifs, tel celui de Pythagore, mais qui ne disposait pas des instruments mathématiques nécessaires à son étude.

Il n’est pas certain que l’histoire de la science soit une nécessité préalable à l’étude des forces, mais retracer, comme le font les historiens, la place, le nom, la date, des inventions mémorables me semble avoir peu de valeur et d’importance. Mais ce dont je suis convaincu est qu’aborder la mécanique ondulatoire sans étudier les étapes de cette théorie dans le temps est une erreur, c’est une perte de temps que d’intégrer des équations différentielles avant de voir la vibration d’une carte et d’en donner démonstrations expérimentales. L’histoire de la science n’est pas l’histoire des savants mais ce qui importe est la controverse entre les idées générales et leurs modifications au cours de l’évolution de la connaissance. Du moins une telle tentative aiderait-elle l’étudiant à comprendre que, si les théories passent, les faits seuls restent. C’est la simple collection des faits qui apporte à la science la meilleure contribution.

Formes et vibrations

L’image d’une vibration, ou plus précisément l’amplitude en terme de durée, comme on le sait, est donnée par une courbe sinusoïdale; la distance entre deux crêtes donne la période T, ou la longueur du temps pris par la propagation, X étant la longueur de la vague et V la rapidité de la propagation, nous avons: X = V.T ou V = X: T = X N N étant 1/T et nommé la fréquence exprimée en périodes par seconde. Cette fréquence varie selon la forme de l’élément vibrant qui peut être une corde, une baguette, une membrane ou une plaque. Pour certains problèmes il est important de déterminer cette fréquence afin d’éviter le phénomène de résonance qui peut entraîner l’effondrement de la structure.

Il peut se produire deux sortes de vibrations perpendiculaires: les vibrations longitudinale ou axiales, telles que nous les voyons dans un ressort en spirale où il se produit successivement compression et expansion, ou les vibrations transversales qui sont en liaison avec une déformation dynamique du ressort. La rapidité de propagation dans le ressort varie avec les matériaux, plus exactement selon les termes du module de Young ou de l’élasticité, et aussi avec la densité des matériaux suivant la relation: V = V Eg: w Pour l’acier V = 5400 mètres à la seconde (approximativement 17750 pieds/sec). Il est intéressant de remarquer que la vitesse du son qui régit l’aéro et la thermodynamique, concerne aussi la transmission de la perception sensorielle.

Il est possible de faire une autre remarque.

Si nous décidons de prendre le temps comme paramètre, la théorie de l’élasticité s’effondre parce que fondée sur l’hypothèse de déformation limitée. Or, quand il se produit d’importantes déformations, la déformation élastique s’accompagne de nombreux autres phénomènes.

Pour l’acousticien Savart ce fut un véritable casse-tête de réaliser que les fortes élongations résultant des vibrations longitudinales sont indépendantes de la surface de section de la baguette qui vibre. C’est

moins surprenant si l’on considère le temps pris par l’impulsion rythmique. — Par exemple un petit enfant peut mouvoir une cloche d’un poids considérable, il n’existe aucune relation entre le poids de la cloche et le poids de l’enfant.

Les efforts dus aux vibrations entraînant des allongements beaucoup plus grands que la tension elle-même, ce qui est vérifiable pour les instruments de musique comme le violon, demandant un fréquent accord.

De tels phénomènes sont importants dans les structures à tension et soulignent clairement la nécessité d’amortir les vibrations.

Une tôle ondulée donne une idée de ce que nous appelons formes « automorphiques » ou formes se reproduisant périodiquement.

Le module d’inertie exprime cette périodicité introduisant le coefficient jr.

La recherche d’un tracé optimum de colonnes donne un exemple de la façon dont l’étude des vibrations peut conduire à la création de formes nouvelles. Ce procédé consiste à décomposer le fondamental en ses harmoniques au moyen d’une triangulation calculée de manière à éviter la déformation.

Quand une poudre légère comme la sciure de bois de balsa est dispersée sur une membrane qui vibre, on obtient des formations intéressantes connues sous le nom de configurations nodales. Elles indiquent clairement les zones d’amplitude 0 ou les points principaux (nœuds) des vibrations.

Ces configurations nodales forment des réseaux orthogonaux ou des groupes de configurations radiales et périphériques.

La position nodale permet ainsi de constater une fréquence donnée déterminante de la forme.

Nous rencontrons de tels problèmes dans un projet d’écran de radar consistant en une membrane d’aluminium extrêmement mince tendue sur une armature circulaire pour laquelle le profil sphérique est obtenu par création d’un vide.

La complexité du monde physique qui nous entoure est démontrée par certains phénomènes classés sous l’étiquette de capillarité.

Ils illustrent parfaitement la différence entre le petit et le grand et leur étude a enrichi considérablement la notion de forme puisque dans le monde animé, des petits animaux ou organismes reproduisent ces formes, spécialement dans la classe des flagellés.

Comme nous l’avons dit précédemment à propos des expériences de J. A. F. Plateau, des mathématiciens ont développé selon la voie systématique qui est leur style, une classification de ces courbes connues sous le nom de courbes élastiques. Nous vous en présentons quelques exemples.

or

sui

8

w

La curieuse variation de forme de ces courbes résulte de l'indétermination du signe radial de la courbure.

Les applications pratiques de ces formes peuvent présenter un intérêt. Nous en voyons un exemple dans certains réservoirs de liquides calculés en accord avec cette théorie. L’importance de réduire à un minimum les rayons de courbure en obtenant néanmoins une capacité donnée a suggéré une composition de courbure selon un dessin économique. Cette technique attend encore une application pratique.

Indépendamment du côté utilitaire, ces phénomènes expriment l’existence de forces cohésives ou d’attractions mutuelles agissant â de courtes distances mais dont l’intensité diminue très rapidement avec la distance. Ce sont ces forces qui engendrent les phénomènes de tension superficielle.

De la pirogue à la fusée astronautique, la relation entre le mouvement et la forme englobe d’admirables exemples de l’ingéniosité humaine. C’est là un champ trop vaste pour être exploré dans notre bref exposé et nous nous limiterons à des considérations de caractère général.

Comme nous l’avons vu, le langage mathématique et ses symboles ont été et seront toujours un réservoir de formes encore inexploitées. C’est une règle qui fait que l’abstraction des concepts purement imaginés pour le soutien de la pensée, ont trouvé plus tard leur place dans le vocabulaire des sciences appliquées. En vertu du pouvoir d’abstraction et de l’attitude objective de l’esprit devant l’inconnu. La magie et la poésie des temps anciens, bien que subjectives, eurent probablement le même pouvoir. La forme est souvent confondue avec l’objet que nous voyons, que nous pouvons toucher ou prendre dans nos mains. Pour un enfant la découverte de l’eau est une expérience inoubliable.

Pour contrôler l’art de voler, l’homme a bien d’autres choses à faire que de fixer sur son dos une paire d’ailes artificielles.

C’est le caractère de l’écoulement de l’air qui a conditionné les formes des avions.

De l’étude des actions négatives des tourbillons et des remous est née une tentative permettant à l’homme de quitter le sol. Il faut suivre les lois de la nature avant de la dominer.

Jusqu’à quelle limite l’homme peut-il espérer comprendre la nature? Avec ses dimensions et ses combinaisons multiples entrecroisant effets et causes? Ainsi que l’a remarqué Eddington, il n’y a pas de confusion possible entre les objets naturels et ceux faits de la main de l’homme. Ces derniers sont à une seule fin et destinés à un unique propos, tandis que la nature est capable de répondre à des exigences complexes dépassant souvent notre entendement.

De toute évidence la vie implique des formes, mais nous l’avons vu, la réciproque n’est pas vraie. Le problème de la croissance accompagne celui de la vie et jusqu’à aujourd’hui l’homme n’a pas été capable de construire des machines qui grandissent.

Peut-être que, avant de résoudre le problème de la forme, l’homme doit créer la vie artificiellement. Pour y parvenir il a un long chemin à parcourir, au-delà du visible et du compréhensible. Ce qui d’ailleurs ne signifie pas l’impossible.

R. Le Ricolais

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Structures tendues et structures comprimées

/f. Le Ilicolais

J. Vue de dessus d'un DOME Tendu. La projection est un cercle.

2. Vue latérale où sont montrés les 6 arcs elliptiques.

3. Vue en élévation montrant la position du plan neutre de la nappe tendue.

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